I. Phẩm tính và lượng tính -II. Những tiêu chuẩn và áp dụng của toán học -III. Tóm lược -IV. Kết luận

I. Phẩm tính và lượng tính

1. Ðặt vấn đề

Tầm quan trọng của lượng tính

            Nhà thiên văn học người Anh Arthur Eddington nghĩ rằng trong vật lý học, các nhà khảo sát thường đối xử không công bằng với sinh viên của họ. Trong cuốn The Nature of Physical World (Bản tính của thế giới vật lý, 1918, t.224), ông viết:

            “Nếu chúng ta lục lọi các hồ sơ khảo cứu trong vật lý học (physics) và trong triết học tự nhiên (natural philosophy) để tìm những vấn nạn có thể dễ hiểu hơn, chúng ta sẽ tình cờ bắt gặp một nhập đề nào đó theo kiểu thế này: ‘Con voi lướt đi êm ái trên triền đồi mượt cỏ...’ Ðối với các cứu cánh của vật lý học, con voi ấy không thích đáng, và triền đồi mượt cỏ cũng không thích đáng. Những cái duy nhất làm thành vấn đề là chúng ta có ‘một khối lượng nặng hai tấn’ và một độ dốc, hãy cứ cho là 60 độ. Nói cách khác, càng sớm buông bỏ những đánh giá về phẩm tính (quality) mà đi vào những sự kiện hoàn toàn lượng tính (quantity), chúng ta sẽ càng đi nhanh vào vấn đề. Ðiều ấy cho thấy rằng ít nhất đối với vật lý học, lượng tính hoàn toàn quan trọng còn phẩm tính chỉ làm cho lầm đường lạc nẻo”.

Khoa học tiến nhờ toán học

            Những lời ấy nghe quá lạ lùng vì trong chương 3 vừa rồi, tuy chỉ mới định nghĩa các phẩm tính, chúng ta đã kết thúc với những dòng chữ nhấn mạnh rằng chúng là cơ sở để qua đó chúng ta có được tri thức về thế giới. Tuy thế, đối với người sống trong thế giới khoa học, những lời của Eddington chẳng chút nào lạ lùng.

            Từng có thời các nhà khoa học dùng toán học như một công cụ để khám phá, và không có cái gì có thể ngăn cản đà tiến bộ nhanh chóng của khoa học. Trong suốt khoảng bốn trăm năm tính từ thời Galileo vào đầu thế kỷ 17 cho tới nay, bằng cách dùng toán học, các nhà khoa học đã biết nhiều hơn về thiên nhiên và vũ trụ hơn hết thảy các tiền bối của họ suốt mấy ngàn năm trước.

            Ngày nay, với sự hỗ trợ của năng lực toán học, con người có những máy móc kỹ nghệ và công nghệ tin học, khám phá những nơi chốn sâu hơn, xa hơn và cao hơn của thế gian. Hai khuôn mặt tiêu biểu cho năng lực diệu kỳ của toán học là Albert Einstein với cây bút chì và Stephen Hawking với bàn phím máy vi tính. Cũng nhờ toán học, con người giữ đúng giờ hẹn trên không gian bao la, đặt chân xuống mặt trăng, thả người máy xuống sao Hỏa, chụp hình sao Thủy, v.v. Nếu không có toán học, chắc chắn không có máy vi tính, điện thoại di động, các vệ tinh viễn thông, v.v. Và giờ đây, không hoang tưởng chút nào về giấc mơ một ngày nào đó không xa, con người sẽ đến định cư tại một hành tinh nào đó, như trong các bộ phim khoa học giả tưởng hiện nay.

2. Cần nguyên lý trật tự

Hệ thống và nguyên tắc

            Lúc này, chúng ta đã thấy rằng vạn vật (things) và các biến cố (events) là những hệ thống các phẩm tính (systems of qualities) và rằng thiên nhiên (nature) là một hệ thống các biến cố (systems of events). Dù định nghĩa phẩm tính là gì đi nữa, điều rõ ràng là chúng không có xu hướng phối hợp nhau một cách tự nhiên.

            Không có lý do rõ rệt nào cho thấy tại sao cái vàng, cái ngọt và cái tròn phải cùng nhau xuất hiện trong trái ổi. Thế nhưng, nếu không có nguyên lý tổ chức nào đó hoặc nguyên lý trật tự nào đó thì không thể có các đối vật và thiên nhiên. Do đó, chúng ta buộc lòng phải chú ý nhiều hơn đến những gì liên quan tới “hệ thống”

Ðộc lập và đo lường được

            Chừng nào còn có thể rút tỉa từ vạn vật và thiên nhiên ra các nguyên lý trật tự, chừng đó sự đánh giá có tính toán học về chúng còn khả thi. Ðó là điều đã và đang xảy ra. Galileo phát hiện rằng cuộc thẩm tra của mình về gia tốc hoàn toàn độc lập với các vật thể được quan sát. Ông chỉ cần đánh dấu thời gian cần thiết cho một đối tượng đi qua các chiều dài không gian khác nhau là đủ.

            Trước thời Galileo, các nhà khoa học đặt trọng tâm trên phẩm tính của đối tượng, cách riêng những phẩm tính cốt lõi, hoặc yếu tính, hoặc bản tính của vật. Việc ấy dẫn tới sự phân loại các đối tượng theo từng chủng loại riêng biệt. Phần lớn khoa học vẫn còn mang tính phẩm tính theo ý nghĩa công tác chủ yếu của nó là phân loại, thí dụ thực vật học (botany), nhưng lý tưởng của toàn bộ khoa học hiện đại là thay thế sự phân loại bằng đo lường, càng nhiều càng tốt.

3. Nguồn gốc của khoa học thực nghiệm

Thí nghiệm và toán học

            Chẳng quá đáng chút nào khi nói rằng Galileo đã đề ra các yêu cầu căn bản cho khoa học hiện đại khi ông thay thế sự quan sát đơn giản bằng thí nghiệm hoặc quan sát có kiểm soát và nhấn mạnh tầm quan trọng của toán học.

            Ðối với Galileo, toán học có thể khiến cho ta có được lời phát biểu chính xác về tương quan giữa các biến cố được khám phá bằng thí nghiệm, và đồng thời, dẫn tới những khám phá mới bằng các khí cụ toán học để suy ra những kết luận mới từ tri thức và lập thành công thức toán học.

Từ cổ đại Hy Lạp

            Về mặt lịch sử, hẳn không hoàn toàn đúng khi nói rằng Galileo đã vì các lý do đó mà chấp nhận những phương pháp ấy. Thật ra, ông là kẻ phục hồi một truyền thống từng thịnh hành trong một số triết gia Hi Lạp trước thời Aristotle.

            Bị đánh động bởi tương quan giữa chiều dài khác nhau của dây và các nốt nhạc được đánh lên, Pythagoras, thế kỷ 6 trước C.N., nêu ý tưởng rằng toán học là cơ sở thật sự của vũ trụ: “Vạn vật được làm thành bởi những con số”. Với lời tuyên bố rằng người không có kiến thức về hình học thì không thể tiến xa trong triết học, *Plato (k.428-347 tr.C.N.) tỏ ra chịu ảnh hưởng rất lớn của Pythagoras.

Galileo và cấu trúc toán học

            Galileo là người mang bản sắc Plato hơn bản sắc Aristotle, môn sinh của Plato. Sự nhấn mạnh của ông lên cấu trúc có tính toán học của thiên nhiên hoàn toàn nhất quán với triết học của ông. Sở thích ấy của ông cực kỳ may mắn: nó không những cho phép ông đặt chân lên các lối đi rất bảo đảm trong ngành khoa học của chính ông mà còn khiến cho ông có khả năng đặt nền tảng cho một phong trào từ ông, đi qua Newton sang Einstein tới Hawking cùng tri thức khoa học tiên tiến của thế kỷ 20 vừa qua và sẽ còn nữa.

            Một số câu chuyện kể về Galileo và các cộng sự viên của ông rõ ràng là ngụy tạo nhưng kinh nghiệm của ông về *Tòa án Dị giáo (Inquisition) là chỉ dấu trung thực lối tiếp cận mới mẻ của họ, khác một cách rõ rệt với những lối tiếp cận trước đó.

Ảnh hưởng cùa Aristotle

            Khoa học thời Trung cổ ít để ý tới thí nghiệm; nó đặt cơ sở trên *luận lý học hình thức (formal logic) như một công cụ dùng để khám phá và chủ yếu dựa trên việc thông giải văn bản của các tác giả khác. Công trình toán học bị cản trở bởi lý thuyết về các nguyên nhân cứu cánh (hoặc tối hậu, final causes) và những quả quyết triết lý về bản tính của vũ trụ.

            Aristotle cung cấp sức đẩy tiên khởi cho phương pháp đó. Ông từng nêu ý kiến rằng khi hòn đá rơi xuống và ngọn lửa bốc lên, chúng ứng xử đúng như chúng phải làm vì chúng đang tìm kiếm vị trí tự nhiên của chúng. Các ngôi sao trên trời hoàn hảo trong bản tính của chúng và chúng được kỳ vọng di chuyển theo những đường đi hoàn hảo. Bởi vì vòng tròn là cái không bắt đầu cũng chẳng kết thúc nên nó là dạng hoàn hảo nhất, do đó tinh tú trên trời di chuyển theo đường tròn.

            Xuất từ đó ta có quan điểm của Claudius Ptolemaneus, thường gọi là *Ptolemy. Ông là nhà thiên văn, địa lý và toán học Hi Lạp làm việc tại thư viện vĩ đại Alexandria (Ai Cập). Ông cho rằng trái đất được bao quanh bởi các hành tinh chuyển động theo hình rất tròn. Chủ trương ấy thịnh hành kể từ năm 127 tới năm 141 hoặc 151 sau C.N., và khống chế cho tới thế kỷ 16, bất chấp sự xuất hiện quan điểm thiên văn học của Nicolas Copernicus.

Dấu ấn Galileo

            Các minh họa vừa kể cho thấy nguy cơ của một nền khoa học hoàn toàn mang bản sắc *duy lý chủ nghĩa (rationalism) mà không được sửa chữa bằng sự quan sát liên tục và thí nghiệm; Galileo bác bỏ lối tiếp cận đó.

            Và kể từ thời của ông, dấu hiệu của một nhà khoa học chân chính là sự tùy thuộc vào thí nghiệm và toán học.

4. Lợi thế của toán học

Ba lợi thế

            Như một công cụï của khoa học, toán học có tới ba lợi thế:

            1. Các kết quả của thí nghiệm một khi được diễn tả bằng thuật ngữ toán học, chúng có khả năng cho ta kiến thức chính xác. Hết thảy những thành tố phức tạp có thể bị loại trừ hoặc gạt sang một bên, và bất cứ cái nào không thể rút gọn thành ký hiệu toán học đều có thể bị xem là còn phức tạp. Do đó, trong truyền thống Newton, chỉ những phẩm tính cấp một đo lường được mới có khả năng đứng vững. Chúng ta thấy khái niệm này được phản ánh trong sự phân biệt các phẩm tính cấp một và cấp hai.

            2. Một khi được sử dụng, toán học có khả năng đưa ra lời tiên đoán bằng cách tính toán những nội hàm toán học (mathemathical implications) của các kết quả đạt được. Toán học tiến hành bằng những cái thay thế, dẫn tới cái nhìn xuyên suốt mới và gợi ra các thí nghiệm mới. Trong vật lý học cao cấp, những cuộc mạo hiểm mới đây gần như hoàn toàn có tính toán học, tuy thế, chúng đưa ra những dự báo khả thi về hoạt động của các hiện tượng có thể kiểm tra và xác nhận một khi các nhà khoa học biết cái mình đang tìm kiếm.

            3. Từ nửa cuối thế kỷ 20 tới nay, toán học chiếm lĩnh chiến trường, đặc biệt trong các ngành cao kỹ, công nghệ thông tin, khoa học không gian, vật lý và kỹ thuật vi hạt nhân, v.v. Nhà khoa học càng ngày càng chính xác hơn và tinh tiến hơn, ngược lại, quan sát trực tiếp hoặc thí nghiệm càng ngày càng góp phần ít hơn vào quá trình tiến bộ ấy. Nhà khoa học càng ngày càng tùy thuộc nhiều hơn vào các ký hiệu toán học và tùy thuộc ít hơn vào công tác quan sát, ngoại trừ để xác minh. Arthur Eddington lập luận rằng vật lý học hiện đại chỉ ứng xử với các ký hiệu và rằng cái vẻ bên ngoài của cách xử lý các vật có thật chỉ là ảo giác. Những tiến bộ trong các phạm vi như cơ học lượng tử (quantum mechanics) gần như hoàn toàn mang tính toán học. Và những kẻ không quen thuộc với toán học đều gặp trở ngại, không thể thâm nhập những bí mật sâu xa nhất của thiên nhiên.

Diệu dụng của toán học

            Bằng cách làm cho con người có khả năng chuyển tải các suy tưởng của nó đi xa hơn bao giờ hết, bằng việc có khả năng gợi mở những con đường mới cho cuộc tìm kiếm, và bằng cách cung ứng công thức cho các kết quả thẩm tra, toán học đã và đang gia tăng quyền làm chủ của con người trên thiên nhiên đồng thời mở ra cho con người kho tàng tri thức bao la hơn bất cứ những gì mà các nhà tư tưởng thuở trước mơ tưởng.

            Toán học là công cụ chính của Einstein. Nhà vật lý lý thuyết Stephen Hawking, bằng các công trình toán học, thông qua bàn phím máy điện toán, đã đưa ra những lý thuyết nổi tiếng về hố đen vũ trụ, tác động của vụ nổ Big Bang, v.v. Ðối với một số giáo sư và sinh viên khoa toán, không có bức tranh nào “đẹp tuyệt vời và tao nhã” cho bằng hình ảnh của một chuỗi cả chục hàng phương trình toán học trên tấm bảng màu xanh lục trong giảng đường!

            Công cụï toán học dường như là chìa khóa phép lạ mở cánh cửa bước vào miền đất phì nhiêu, phong phú những bí mật của thế giới. Chính toán học, hơn bất cứ môn học nào khác, biến thời đại này thành thời đại khoa học công nghiệp, không gian, hạt nhân, điện tử, vi tính, v.v. và củng cố lòng tự tin của con người, cái vẫn chưa có thể cắt nghĩa. Và cuối cùng, toán học sẽ mang niềm tự tin ấy vào trong phạm vi tri thức của chúng ta vì ở đó dường như không có giới hạn nào cho những kỳ công mà khoa học mang tính toán học có thể thực hiện.

5. Toán học và lượng tính

Phải cần tới phẩm tính

            Có lẽ trước hết, phải nói rõ là các xem xét về lượng tính không thể không cần tới ít nhiều thông tin về phẩm tính. Không thể đếm hoặc cân đo chính xác một vật nếu vật ấy không có một phẩm tính nào đó hoặc có chung với nhau các phẩm tính nhất định.

            Chúng ta không thể nói trong rỗ này có 12 trái ổi nếu đối tượng chúng ta đếm không phải là 12 trái ổi, cho dù nói theo kiểu “lục tỉnh miền tây” đôi khi đó là một “chục mười hai” hoặc mười ba mười bốn! Nếu có ai đó chọc quê chúng ta, cho vào rỗ ấy 12 trái cóc hoặc một số trái cóc thay cho ổi, chúng ta sẽ phải đổi từ ngữ và gọi chúng là 12 trái cóc hoặc 12 trái cây.

            Từ ngữ “trái cây” dù không chính xác như “trái ổi”, “trái cóc” nhưng cứu được chúng ta ra khỏi hoạt cảnh bẽ bàng tại chỗ. Dù với bất cứ từ ngữ nào, nếu được dùng một cách thích đáng, vẫn chỉ tới sự có mặt của một số phẩm tính trong các đối tượng được đo lường.

            Người đầu óc bình thường không đưa ngón tay chỉ lên ngọn Tháp Bút hay chỉ xuống mặt nước Hồ Gươm rồi đếm một, hai, ba... mà trước mắt không có đối tượng nhất định. Hành động đếm chỉ có ý nghĩa khi chúng ta biết rõ mình đang đếm cái gì, nghĩa là hành động ấy phải đặt căn bản trên sự phân biệt nào đó về phẩm tính.

Ðơn vị chung phẩm tính

            Không cần phải xem xét hết tất cả các phẩm tính có sẵn. Trong khi đếm, số lượng các phẩm tính mà chúng ta cần có thường được quyết định bởi lợi ích của chúng. Nếu chúng ta bán rau muống cho người mua về nuôi heo, chúng ta sẽ chọn xem loại rau muống nào có chung một số đặc điểm nhất định, không cần phải xem chúng dài hay ngắn bằng nhau, còn tươi hay đã héo, già hay non một chút, v.v.

            Những phân biệt ấy chỉ thành vấn đề khi chúng ta đem rau muống ra chợ bán cho người ta mua về ăn: xào, luộc hay làm rau sống, ăn bún riêu, v.v. Tuy nhiên, sự sở hữu đơn thuần một phẩm tính chung chỉ mới là cơ sở ắt có chứ chưa đủ cho mọi hành động đếm. Vì như đã nói ở trên, điều quan trọng cần nhớ là không thể có hành động đếm nếu không có các đối tượng gồm những đơn vị riêng biệt đang sở hữu một hay một số phẩm tính chung.

Ðơn giản hóa phẩm tính

            Chính sự rút bớt các phẩm tính, càng nhiều càng tốt, mới gia tăng tính chính xác cho các kỹ thuật toán học. Trong cuộc kiểm tra dân số, mọi cá nhân đều được đối xử như những đơn vị riêng biệt và rất dễ đếm. Công việc bắt đầu phức tạp khi bản kê khai phải ghi thêm niềm tin chính trị, thí dụ dân chủ hay quân chủ hay đảng phái nào, niềm tin tôn giáo, thí dụ theo đạo nào, và lý tưởng đạo đức, thí dụ trả lời một số câu hỏi về luân lý.

            Các ngành khoa học xã hội không có khả năng đạt tới sự chắc chắn trong các khám phá của mình giống như khoa học tự nhiên, vì khoa học xã hội không thể ứng xử với con người như những ký hiệu thuần túy toán học. Có vẻ con thuyền khoa học xã hội sẽ mãi mãi lơ lửng giữa dòng sông phẩm tính và không bao giờ “đáo bỉ ngạn”, vượt thoát lên hai bên bờ bất định được lập thành bởi những phức tạp ấy.

6. Việc đếm

Từ thượng cổ đã đếm

            Ðếm là một thành tựu mà loài người đạt được từ thời thượng cổ. Thuở con người còn sống đời du mục, chăn cừu hoặc chăn các súc vật khác, mục tử phải đếm bầy súc vật từng con một đang đi trong bầy đàn, và các loại đối tượng khác. Có lẽ thuởû ấy, tổ tiên của chúng ta dùng các viên sỏi.  

            Hoàng hôn xuống, lùa đàn súc vật trở về, cứ mỗi con vô chuồng hoặc vô bãi đất trống có rào bằng đá hay gỗ bọc quanh, mục tử lấy một hòn sỏi từ trong tổng số các hòn sỏi tương ứng với tổng số các con vật, rồi thả từng hòn xuống đất. Nếu hết con này tới con khác lần lượt vô chuồng cho tới khi trong bọc không còn hòn sỏi nào, người chăn bầy mới yên chí đi về nhà mình. Nếu đàn súc vật đã vào hết mà trong bọc hoặc trên tay còn, thí dụ một hòn sỏi, tức là đang thiếu một con. Mục tử phải lập tức đi tìm con vật thất lạc ấy.

            Ðó là ở phương Tây, còn ở Viễn Ðông, người Trung Hoa tin rằng tổ tiên của họ thắt dây thừng làm gút mà đếm khi giao dịch. Có bao nhiêu vật thì có bấy nhiêu gút. Dần dà từ các gút ấy tiến lên các bàn toán phức tạp hơn làm thành hình dạng và thành cách sử dụng bàn toán của người Trung Hoa. Ngày nay, nhìn các hạt trong bàn toán, ta không khỏi liên tưởng tới hình dạng các gút dây thừng!

Khi nhiều quá và phức tạp

            Chừng nào các số đếm không lớn quá cũng như chừng nào không có quá nhiều loại đối tượng được đếm khác nhau, chừng đó các hệ thống ấy còn thao tác mà không gặp quá đổi khó khăn. Khi các đối tượng tăng thêm hoặc trở nên đa tạp hơn, phát sinh vấn đề và đòi hỏi phải phát triển thiết bị mới.

            Tới lúc người ta khám phá ra các con số thì có thể buông bỏ hệ thống đếm cồng kềnh ấy bằng cách viện dẫn các đối tượng khác. Và đồng thời để đạt được cũng một cứu cánh ấy bằng sự tương ứng với các ký hiệu có thể mang theo trong đầu để áp dụng cho nhiều loại đối tượng khác nhau mà không bị lẫn lộn.

            Dưới bầu trời Tây, chừng nào các viên sỏi còn quan hệ hỗ tương với các con cừu, chừng đó người ta còn không thể dùng chúng để kiểm tra các vật khác mà không có nguy cơ lẫn lộn thật sự. Ngược lại, đối với các con số, chúng ta có thể áp dụng chúng cho bất cứ đối tượng nào đáp ứng được yêu cầu của kỹ thuật toán học mà không gặp nguy cơ nào giống như thế.

Lịch sử con số

            Không cách gì biết rõ ai là người đầu tiên rút tỉa các con số từ các đối tượng cụ thể, nhưng bằng việc tách hành động đếm ra khỏi các khí cụ cồng kềnh như sỏi hoặc dây thừng, người ấy đã phát triển một khí cụ tổng quát, hữu dụng và đặt nền tảng cho toán học.

            Không biết tổ tiên loài người phải mất bao nhiêu thời gian để đi từ việc phát minh con số tới việc thiết lập các hệ thống chữ số có khả năng khảo sát tương quan giữa bản thân các con số. Với các phương tiện cồng kềnh trước đó như viên sỏi hoặc gút dây thừng, hẳn họ cảm thấy cực kỳ khó khăn khi phải khám phá tương quan giữa các con số.

            Thế rồi có sự xuất hiện ký hiệu A Rập, và đó là tiến bộ quan trọng nhất. Lợi thế độc đáo của ký hiệu A Rập chính là ký hiệu của vị trí. Như thế, 5 trong con số 51 không còn tiêu biểu cho 5 mà là 50, và cứ thế đối với các vị trí khác. Sự kiện ấy khiến cho việc phát minh con số không (dê-rô) trở thành thiết yếu. Chừng nào con người còn cân đo đong đếm các đối tượng cụ thể bằng các vật cụ thể thì không thể có khái niệm về con số dê-rô. Các nhà toán học thuở ấy nghĩ tới con số như được phát sinh từ một đơn vị.

Số dê-rô vĩ đại

            Rõ ràng ký hiệu A Rập đòi hỏi phải có con số dê-rô, bằng không hẳn có một lỗ trống bất khả thi giữa 49 và 51. Hoàn toàn có khả năng con số dê-rô được phát minh cho mục đích đó. Nó là một trong những phát minh sinh lợi nhiều nhất của một nhà thiên tài toán học Ấn Ðộ.  Cũng có khả năng số dê-rô ban đầu chỉ là “khoanh một cái” vào giữa các dãy số để nhớ ở đây “có một cái”. Lâu dần, hình ảnh “cái khoanh tròn” ấy dùng làm con số dê-rô, rồi được kết hợp quá đổi tài tình thành con số chục.

            Số dê-rô mở ra những khả thi mới cho các thao tác trên những con số và nó cho nhà toán học quyền năng mới. Tầm quan trọng của con số dê-rô mới mẻ ấy đã được chứng minh phần nào trong các phương trình toán học hay vị trí của nó như một điểm gốc cho các trục tung và hoành trong một hệ thống các tọa độ.

7. Số thứ tự

            Có thể dùng các con số để chỉ thứ tự hoặc vị trí trong một chuỗi. Ðược dùng theo lối ấy, người ta gọi chúng là số thứ tự (ordinal numbers). Giám khảo một cuộc thi luận văn sẽ đặt các bài luận theo cái mà ông xem là thứ tự tưởng thưởng chúng. Ông có thể đặt cho bài hay nhất là số 1 (đệ nhất), kế bài hay nhất là số 2 (đệ nhị), và cứ thế. Trong trường hợp này, con số nhỏ nhất là bài hay nhất. Thứ tự của các con số (đệ) chỉ cho thấy thứ tự tưởng thưởng của bài được đánh số.

            Chúng ta sẽ vô lý nếu từ việc đánh số ấy của giám khảo mà suy diễn rằng bài luận được đánh số 1 thì dài gấp đôi hoặc hay gấp đôi bài được đánh số 2, cũng như dài hoặc hay gấp ba bài được đánh số 3 (đệ tam). Thậm chí vô lý hơn nữa nếu giả dụ có hai bài luận có chất lượng, được đánh số 2, ta đem cộng chúng lại rồi bảo chúng ngang với bài luận có chất lượng được đánh số 4 (đệ tứ).

            Ở đây, các con số được dùng để chỉ thứ tự hay để tưởng thưởng; chúng cũng hoàn toàn không có ngụ ý về việc được thưởng bao nhiêu so với các bài luận khác nhau. Hệ quả là, khi các con số được dùng theo số thứ tự, người ta không thể cộng, trừ, nhân hoặc chia chúng. Tất cả chỉ là vấn đề thứ tự của các con số phải chỉ thứ tự của các vật được đánh số theo một nguyên tắc thiết lập trật tự nào đó.

8. Số bản số

            Chúng ta cũng có thể sử dụng các con số làm các số bản số (cardinals). Chúng được dùng để tiêu biểu cho tương quan xác định, cùng một kiểu và có thể đo lường lượng tính. Nếu chúng ta ấn định cho Sài Gòn con số 1, Ðà Nẵng con số 2 và Hà Nội con số 3, thì cả ba con số ấy chỉ thứ tự theo đó chúng ta sẽ lần lượt gặp ba thành phố ấy trong cuộc hành trình xuyên Việt đi từ nam ra bắc.

            Tuy thế, nếu chúng ta đánh số Sài Gòn là con số 0, Vĩnh Long (thí dụ) là con số 100, Cần Thơ (thí dụ) là con số 200 (với ý định để giản dị hóa, các con số này tiêu biểu cho số đoạn đường tính bằng cây số giữa các thành phố ấy). Lúc đó chúng ta nên dùng các con số để chỉ điều ấy nếu chúng ta dùng cây số (kilô mét) làm đơn vị bằng 1 rồi 100 của đơn vị ấy nằm giữa Sài Gòn và Vĩnh Long, và 200 giữa Sài Gòn và Cần Thơ. Chúng ta có thể cộng các con số ấy với nhau hoặc chúng ta có thể trừ chúng.

            Thí dụ 200 trừ 100 thì khoảng cách giữa Vĩnh Long cà Cần Thơ là 100 cây số, hoặc chúng ta có thể chia chúng và nói rằng khoảng cách từ Sài Gòn với Vĩnh Long bằng một nửa khoảng cách từ Sài Gòn với Cần Thơ. Lúc đó, các số bản số chỉ cho chúng ta thấy không những thứ tự của các vật chúng áp dụng mà còn con số của các đơn vị đồng nhất và xác định giữa các vật mà chúng áp dụng.

9. Ðại lượng bao quát và đại lượng cường độ

Ðại lượng bao quát

            Về mặt bản số, không phải hết thảy các loại của vật đều có thể được đánh số. Các đại lượng (magnitudes) có thể đo lường bằng số bản số được gọi là những đại lượng bao quát (extensive magnitudes). Khoảng cách không gian, kích cỡ và vị trí là những thí dụ rõ ràng nhất của đại lượng bao quát. Ðó là những đại lượng mà ngành khoa học vật lý (physical sciences) nhận thấy dễ ứng xử với chúng nhất. Chúng cũng là những thí dụ tốt nhất cho các phẩm tính cấp một.

Ðại lượng cường độ

            Các đại lượng có thể đo lường bằng số thứ tự được gọi là những đại lượng cường độ (intensive magnitudes). Các phẩm tính cấp hai và cấp ba là những đại lượng cường độ. Chúng ta có thể sắp xếp một chuỗi màu sắc theo thứ tự độ sáng của chúng hoặc cường độ của chúng. Chúng ta cũng có thể sắp xếp một nhóm các nhạc cụ theo thứ tự vẻ đẹp của chúng hoặc theo sở thích của chúng ta.

            Chúng ta không thể nói màu đỏ có cường độ gấp ba lần màu khác hoặc bản nhạc này, một cách chính xác, hay gấp hai lần bản nhạc kia. Những cái đó là đại lượng cường độ và không có đơn vị tiêu chuẩn đo lường màu sắc hoặc thẩm mỹ để căn cứ theo đó chúng ta có thể ấn định các lượng tính riêng biệt cho từng phẩm tính.

            Cho dẫu như thế, chúng ta vẫn dùng số bản số và các biện pháp đo lường chính xác lượng tính khi ứng xử với các đại lượng cường độ. Ngành khoa học vật lý đã khiến cho có thể đo lường màu sắc và độ sáng bằng chiều dài sóng và cường độ sáng, âm thanh bằng deciben, nhiệt bằng các đơn vị nhiệt, nồng độ của dung dịch, và vân vân.

            Trong hết thảy các trường hợp ấy, chúng ta cần nhớ rằng đại lượng cường độ không thể đo lường trực tiếp mà chỉ gián tiếp qua những tương quan của nó với đại lượng bao quát. Hệ quả là có những nguy cơ nhất định trong việc thông giải các đo lường đó nên chúng ta cần phải cảnh giác.

Thí dụ minh họa

            Có thể minh họa phương pháp đo lường các đại lượng cường độ qua tương quan với lượng tính bao quát bằng sự đo lường nhiệt. Ấm, như chúng ta cảm giác chúng bằng các giác quan trong da, là một đại lượng cường độ. Chúng ta có thể nói bên trong nhà ấm hơn bên ngoài, nhưng thật phi lý khi nói rằng bên trong nhà ấm gấp năm lần bên ngoài.

            Cho dù mùa đông tại thành phố Toronto, Canada, nơi tôi đang sinh sống, nhiệt độ trong nhà tôi nhờ có máy sưỡi nên thường +23 độ C trong khi nhiệt độ tự nhiên bên ngoài có ngày xuống tới –35 độ C, nhất là những lúc trời có gió buốt.

Thanh đo và thủy ngân

            Ðể đưa tới sự đo lường chính xác bằng các con số, thông thường chúng ta phải sử dụng que đo – hay thanh đo – nào đó, thí dụ ống rỗng và một cột thủy ngân. Thủy ngân có đặc tính dâng lên hay hạ xuống trong ống rỗng theo tỉ lệ giản nở cố định với thứ tự cường độ ấm. Lúc đó, chúng ta có thể đánh dấu trên ống rỗng các đơn vị khoảng cách. Do đó, cách đo lường này tùy thuộc:

            a. Trên các đặc tính của thủy ngân, và

            b. Trên các con số và các đơn vị được chúng ta ấn định cho những độ cao khác nhau của thủy ngân trong ống.

            Trong những điều kiện nhất định, thủy ngân không đáp ứng được mục đích đó, ta phải dùng các chất liệu khác. Vì thế, để đo lường chính xác, chúng ta phải biết thanh đo của mình có những đặc tính nào; trong trường hợp này là thủy ngân. Về các đơn vị được dùng trong việc đo lường nhiệt độ, người ta thường sử dụng hai hệ thống đo lường nó: độ C (Censius hoặc Centigrade), và độ F (Farenheit). Tại Việt Nam, cũng như tại Canada, dùng độ C; tại Hoa Kỳ dùng độ F.

            Nếu nói rằng căn phòng A 66 độï F ấm gấp hai lần căn phòng B chỉ 33 độ F; câu nói ấy vô nghĩa, vì tương quan giữa hai con số đó hoàn toàn tùy thuộc vào hệ thống chia độ mà ta sử dụng lúc đó. Sáu mươi sáu độ F tương đương khoảng 20 độ C, còn 33 độ F thì tương đương khoảng 1 độ C. Như thế, chúng ta có nên nói căn phòng A ấm gấp hai lần căn phòng B hay ấm gấp hai chục lần?

Các khó khăn

            Ngày nay, với sự phát triển của ngành điện tử, ta có những dụng cụ cảm ứng đo bằng điện tử và cực kỳ nhạy bén. Tuy thế, nhiều trường hợp vẫn dùng các dụng cụ cũ, nhất là trong sinh hoạt đời thường.

            Bạn không nên quên những nguy cơ phát sinh từ hai nguồn ấy – thanh đo và hệ thống chia độ đo – khi chúng ta chạm trán với những toan tính đo lường chính xác các đại lượng cường độ.

            Chúng ta cũng chạm trán các khó khăn giống như thế trong những loại đo lường khác nhau, thí dụ đo lường trí thông minh hoặc đo lường nhân cách trong tâm lý học, hoặc đo lường tài sản hay khả năng sản xuất trong kinh tế học (economics) và các giá trị dinh dưỡng trong khoa học về chế độ ăn uống và dinh dưỡng (dieterics) và còn rất nhiều đối tượng đo lường trong các bộ môn khác.

10. Ðo lường

Ðơn vị đo lường

            Ở dạng đơn giản nhất, đo lường khác với đếm trong cách xử lý tương quan giữa đối tượng nào đó và dụng cụ đo lường. Các dụng cụ đo lường có thể có hình thức quen thuộc như thước đo theo mét hoặc theo yard (centimét hay inch) và nhiệt kế cho tới các dụng cụ điện tử phức tạp nhất trong khoa học hiện đại.

            Ðặc biệt từ năm 1960, có một độ lớn được công nhận là nano, theo tiếng Hi Lạp có nghĩa là chú lùn. Nano (viết tắt n) là một tiền tố được viết liền trước một đơn vị đo lường quốc tế để chỉ đơn vị nhỏ gấp 10⁹ hay 1.000.000.000 lần. Một nanomét bằng 1 mét chia cho một tỉ hoặc viết là 10^-9 mét.

Ðếm và đo lường

            Sự phân biệt giữa đếm và đo lường cũng giống với sự phân biệt đã được chúng ta trình bày, giữa các số thứ tự và số bản số. Số bản số được dùng trong việc đếm vì chúng có quan hệ tương ứng một-trên-một giữa các đối tượng và các con số, ngược lại trong đo lường, chúng ta quan tâm tới con số thứ tự vì đo lường chủ yếu là vấn đề vị trí trong một chuỗi. Do đó, mỗi dụng cụ đo lường đều được, bằng một cách nào đó, chia thành từng vạch – hay từng lằn mức, ngấn hay khấc – tăng dần để có một chuỗi các vị trí đo lường khả thi.

            Vì mục đích của đo lường nên phải cô lập đối tượng với phần còn lại của thiên nhiên, thí dụ cân tiểu ly để cân vàng thường được đặt trong lồng kính. Nhưng cũng loại cân ấy, khi dùng để cân thuốc bắc, người ta thường cầm trên tay. Hoặc giả trong khi đo cạnh của chiếc bàn, chúng ta xử lý như thể nó hoàn toàn cô lập, và ta không quan tâm tới nhiệt độ của các cạnh bàn. Khi cân một bao thóc, chúng ta chỉ quan tâm tới mối liên hệ của bao thóc và kim chỉ trên bàn cân chứ không để ý đến ảnh hưởng của các tinh tú hay bất cứ sức mạnh nào khác.

Cô lập, giả định và gia giảm

            Trong một số trường hợp, như đối với nhà hóa học, gần như đạt được sự cô lập hoàn toàn. Nhưng đối với nhiều trường hợp, sự cô lập chỉ là giả định. Những tính toán sau khi đo lường sẽ cho phép chúng ta gia giảm ít nhiều. Nhưng nếu không giả định có sự cô lập, chúng ta không thể nào đo lường.

            Tại Viễn Ðông, đo lường trong một số lãnh vực, thí dụ bổ một toa thuốc đông y hay nấu nướng thức ăn, người ta thường kết hợp đo lường với sự thêm bớt sau đó, phỏng chừng theo kinh nghiệm. Thế nên nhiều người quả quyết rằng, hoặc ngộ nhận rằng giá trị đo lường của người á đông chủ yếu dựa trên khả năng gia giảm, và vì thế khoa học của người á đông không chính xác!

Trung lập và không tuyệt đối

            Trong đo lường, dụng cụ đo lường phải tương đối không bị tác động bởi vật đo lường và vật đo lường cũng không bị tác động bởi dụng cụ đo lường. Nếu sử dụng để đo lường, dụng cụ đo lường phải hoàn toàn trung lập. Thật vô ích khi cân một cục nước đá trên chiếc cân đang nóng đỏ hừng hực.

            Ðôi khi rất khó có thể đạt tới sự trung lập ấy, thí dụ vít vi kế (micrometer screw) sử dụng áp suất phút nào đó trên đối tượng đo lường. Tầm quan trọng của tính chất trung lập thì tương đối so với lợi ích của chúng ta vì có thể trong đời thường, chúng ta không quan tâm lắm tới sự hoàn toàn chính xác.

            Dù đo lường không bao giờ có thể tuyệt đối, nhưng về mặt lý thuyết, nó luôn luôn có khả năng càng ngày càng trở nên tinh tế hơn, nhất là từ khi có phát minh các dụng cụ đo lường cảm ứng bằng điện tử, tuy vẫn có độ dung sai cực nhỏ. Bình thường, chúng ta có thể phát biểu rằng cái bàn này dài 1.2 mét nhưng chúng ta không có ý nói chiều dài ấy đúng tuyệt đối. Một dụng cụ đo lường bén nhạy hơn có thể cho thấy nó dài 1.2011 mét hay 1.2012 mét, và vân vân. Nếu có hai chục người đo cạnh bàn ấy với sự hoàn toàn chính xác có thể được thì có khả năng tất cả những người ấy đưa ra hai chục kết quả khác nhau cực nhỏ.

Tính chủ quan của đo lường

            Người ta đo lường để thỏa mãn lợi ích riêng biệt. Và như đã nói rõ, có thể lợi ích ấy không đòi hỏi độ chính xác cao. Nếu chúng ta quan tâm tới chiều cao của một người, chúng ta có thể nói cho hợp với mục đích của mình rằng người ấy cao 1.6 mét, cho dù tại văn phòng tuyển mộ cảnh sát, người ấy bị từ chối vì chỉ cao 1.59 mét. Có thể văn phòng tuyển mộ cảnh sát chính xác hơn nhưng chúng ta không thể nói rằng họ hoàn toàn chính xác vì rất có thể việc đo lường người ấy có sự sai chạy một centimét.

            Lại còn có loại đo lường theo “thốn” trong khoa châm cứu của người á đông. Ðể đo khoảng cách giữa các huyệt đạo của một người, người ta dùng thốn. Thốn thường có độ dài ngắn khác nhau tùy theo mỗi người, vì nó được tính bằng chiều dài của đốt giữa của ngón giữa trên bàn tay của người ấy!

            Cách tính đơn vị trọng lượng cũng khác, một “kilô tây” (cân tây) thì bằng “10 lạng tây” (100 gram), trong khi “một cân ta” thì bằng “16 lạng ta” (37.5 gram). Như thế, 1 lạng tây bằng 2.666... lạng ta, và 1 cân ta bằng 6 lạng tây. Hơn hai mươi hai thế kỷ trước, ở sân miếu Vũ vương bên Tàu, Hạng Võ cử chiếc đỉnh nặng khoảng 5.000 cân tức 3.000 kilô tây; sách Hán Sở tranh hùng kể lại theo lời dân gian truyền tụng là Hạng Võ “cầm lấy chân đỉnh đưa cao lên trời, đi quanh miếu ba vòng mà sắc mặt vẫn không thay đổi” (bản dịch của Mộng Bình Sơn). Quả là sức mạnh xưa nay cực hiếm!

Ðo lường bằng điện tử

            Nếu cứ đi theo lối ấy, chẳng mấy chốc chúng ta sẽ vượt quá nơi mà các dụng cụ của mình có thể đo lường với sự chính xác thỏa đáng, và vượt quá nơi mà bất cứ sự bén nhạy hơn nào cũng có ý nghĩa thực tiễn. Khoa học đã và đang phát triển những dụng cụ đo lường gần như không thể tin được, thí dụ các dụng cụ đo lường điện tử. Ðôi khi được gọi là hệ thống đo lường điện tử.

            Chúng là các dụng cụ đo lường các đại lượng vật lý hoặc phi vật lý với sự trợ giúp của các thiết bị điện tử. Chúng thường cho thấy kết quả đo lường thông qua các phương tiện khác nhau. Tuy thế, dù gì đi nữa, khoa học cho tới nay và có lẽ sẽ không bao giờ cung cấp được một dụng cụ toàn hảo tới độ không để lại bất cứ giới hạn sai số nào. Trong các cuộc thi thể thao, thí dụ bơi lội hoặc chạy đua, tuy đã có dụng cụ đo tới một phần trăm của giây, đôi khi người ta còn phải cần tới sự ghi nhận của phim ảnh để xác định thứ tự của hai kẻ có vẻ như về tới đích cùng một thời điểm.

            Khi đã hội đủ mọi điều kiện đo lường, chúng ta có thể kết hợp những đặc điểm được đo lường với các vạch chia mức độ trên dụng cụ đo lường. Các dụng cụ đo lường được thiết kế chu đáo để có thể đọc rõ kết quả đo lường bằng những đơn vị định chuẩn hoặc phân số. Dĩ nhiên các định chuẩn ấy được quyết định một cách độc đoán với sự gia giảm nhẹ nhàng có thể được, vì trong thiên nhiên không có thanh cân đo. Với các dụng cụ điện tử, thay vì vạch, trên mặt của dụng cụ hiện lên con số.

            Như đã nói ở trên, chúng ta không thể nào nghĩ ra được những dụng cụ cân đo tuyệt đối chính xác để ứng xử hoàn toàn thỏa đáng với những cực kỳ tinh tế trong việc đo lường.

Nan giải và nhược điểm

            Những nan giải của các thanh đo cho thấy không thể không có nhược điểm trong các phương pháp đo lường vừa kể, dù chúng ta không xem chúng quá nghiệm trọng đối với hầu hết các cứu cánh của cuộc đời. Tuy thế, ở cấp độ phức tạp hơn ta gặp phải những khó khăn sâu xa hơn.

            Nếu chúng ta giả định rằng không gian có tính tuyệt đối và quả đất chuyển động qua đó theo vận tốc cố định, lúc ấy như nhà vật lý học người Ái Nhĩ Lan *George F. Fitzgerald (1851-1901) đã trình bày trong cái được gọi là “sự co rút Fitzgerald” (the Fitzgerald contraction), mọi đo lường bằng thanh đo nhân tạo đều có tính tương đối đối với điều kiện đo lường. Mọi dụng cụ đo lường làm bằng vật liệu cụ thể, nghĩa là hiện hữu trong dạng vật chất có thể sờ mó hoặc cảm ứng, đều lệ thuộc vào quá trình co lại hoặc rút ngắn ở vận tốc cao.

            Nếu quả đất du hành với vận tốc ánh sáng trong chân không 299,792.458 cây số một giây, hết thảy những thanh đo bằng mét hoặc bằng yard chĩa đầu cùng hướng với chuyển động ấy đều sẽ bị giảm thiểu xuống số 0. Với vận tốc 257,600 cây số một giây, chúng sẽ bị giảm thiểu xuống một nửa. May mắn thay, hành tinh của chúng ta đang du hành với vận tốc 30.4 cây số một giây và nhờ thế, sự khác biệt của các dụng cụ đo lường chúng ta đang sử dụng quá nhỏ, không đáng kể.

Không-thời-gian và tương đối

            Dĩ nhiên giả định về không gian tuyệt đối ấy có thể sai, và giả thuyết của Fitzgerald giải thích các kết quả âm tính kỳ lạ của cái được gọi là thí nghiệm *Michelson-Morley (1887) có thể không cần thiết.

            Có thể khái niệm không-thời-gian (space-time conception) của *thuyết tương đối (theory of relativity) rọi đôi chút ánh sáng lên vấn đề ấy. Và bạn có thể tra cứu đề tài rất rộng lớn này để có những thảo luận đầy đủ hơn về nội hàm của nó trong vấn nạn vừa khó trả lời vừa kích thích trí tò mò này.

II. Những tiêu chuẩn

và áp dụng của toán học

            Thời thế kỷ 17, các triết gia không đồng ý với nhau về ý nghĩa và lý do thành công của toán học. Bất đồng ấy có liên quan tới sự phân biệt giữa chủ nghĩa duy lý và chủ nghĩa duy nghiệm. Chủ nghĩa duy nghiệm – đúng như thuật ngữ ấy gợi ý – nhấn mạnh bản tính thực nghiệm của khoa học và không chịu xem là giá trị ý tưởng nào không thể truy tầm gốc tích của nó trong kinh nghiệm giác quan.

1. Toán học và thuyết duy nghiệm

Không bằng cớ kinh nghiệm

            Trong toán học, có nhiều ý tưởng trung tâm không cho thấy chúng có rõ ràng xuất phát từ kinh nghiệm hay không, vì thế đã nảy sinh vấn nạn không biết chúng là những ý tưởng quả thật có giá trị hay chỉ là những giả tưởng.

            Nhấn mạnh nguồn gốc kinh nghiệm và các tiêu chuẩn của toán học, giám mục Berkeley cảm thấy khó khăn khi tìm cách am hiểu một số điều tưởng tượng có tính toán học. Các nhà toán học đều đồng ý rằng bất cứ sự triển khai nào cũng có thể chia ra tới vô tận, nhưng chưa bao giờ có thể đưa ra bằng cớ kinh nghiệm nào để chứng minh cho lời khẳng định ấy, vì không ai có khả năng nhận thức các phần nhỏ tới vô tận trong bất cứ sự triển khai nào.

Tính chia vô tận bất khả thi

            Trong cuốn A Treatise Concerning the Principles of Human Knowledge (Luận án về các nguyên lý của tri thức con người, 1710), Berkeley viết rằng:

            “Không thể xác nhận tính chia vô tận (infinite divisibility) của sự triển khai hữu hạn một cách rõ ràng như một định đề hay một định lý trong các thành tố của ngành khoa học đó, tuy thế nó hiện hữu khắp những chỗ không được giả dụ và được cho là có liên quan một cách cốt tủy và không thể tách rời với những định lý và những chứng minh trong hình học, khiến cho nhà toán học không bao giờ cảm thấy nghi ngờ hoặc thắc mắc tối thiểu về nó... Mọi sự triển khai có tính hữu hạn và đặc thù có khả năng là đối tượng tư duy của chúng ta đều là những ý tưởng hiện hữu trong tâm trí, và hệ quả là phải nhận thức từng phần của nó... một khi đã khảo sát thấu đáo và chẳng tìm thấy nó, khiến cho trong bất cứ trường hợp nào, vấn đề thiết yếu là sử dụng những phần vi phân của những tuyến hữu hạn hay phải quan niệm chúng, hoặc thậm chí những phẩm tính nhỏ hơn độ nhạy cảm tối thiểu; và còn hơn thế nữa, sẽ có bằng cớ rằng không bao giờ hoàn tất được việc đó, nó bất khả thi”.

Xem tiếp phần 2