2. Toán học và lý trí

Chỉ cần suy luận có thứ tự

            Là người theo chủ nghĩa duy lý, Descartes phủ định tính ưu việt của tri thức giác quan vì đặc tính ảo giác và lừa mị của nó; ông quả quyết rằng chỉ có thể sở đắc tri thức bằng thao luyện lý trí. Do đó, lý trí phải có những ý tưởng không đến từ cảm giác và bởi thế, chúng được chứng minh là những ý tưởng xác thực.

            Descartes là một nhà toán học nổi tiếng; tínhï chắc chắn của toán học gợi cho thấy khả năng với tới cái chắc chắn trong lãnh vực triết học bằng cách áp dụng vào tư duy triết học những phương pháp được dùng và đã chứng tỏ hiệu năng của chúng trong toán học. Hình học mang bản sắc *Euclid, nhà toán học Hi Lạp sống khoảng thế kỷ 3 và 4 trước C.N., bắt đầu với các tiền đề không đặt cơ sở trên bất cứ xác minh thực nghiệm nào vì tự thân chúng là chứng cớ cho chúng.

            Theo Descartes, tự những tiền đề ấy ắt có và đủ cho việc thẩm tra bằng lý trí để tín nhiệm chân lý của chúng; chúng không thể có và cũng không cần chứng cớ hình thức nào. Do đó, những tiền đề căn bản của toán học được nắm bắt bằng trực giác trí tuệ (intellectual intuition).

            Phát xuất từ các tiền đề, ta có thể suy ra những định lý rất phức tạp bằng cách đi theo phương pháp suy luận có thứ tự. Mọi bước suy diễn đều phải được bảo đảm bằng trực giác. Hoàn toàn không thể viện dẫn kinh nghiệm để chứng minh kết quả đó có giá trị hay không. Vì lý trí là công cụ thích đáng duy nhất của chân lý, nên một khi các định lý đã được lý trí khẳng định hoặc chấp nhận thì chúng phải đúng cho dẫu chúng có vẻ xung khắc với chứng cớ của giác quan.

Tính chia vô tận khả thi

            Vì thiên về duy nghiệm chủ nghĩa, Berkeley lập luận rằng tính chia vô tận là bất khả thi, trong khi đó Descartes quả quyết rằng tính chia vô tận là một ý tưởng có giá trị. Trong thực tế, Descartes dùng thực tại của tính chia vô tận để phủ định sự chính xác của lý thuyết nguyên tử vì theo nghĩa đen, nguyên tử có nghĩa là “nguyên”, không thể phân chia, và như thế, từ ngữ ấy gợi cho thấy không thể chia vật chất tới vô tận.

            Trong cuốn Principia Philosophiae (Những nguyên lý triết học, 1664), Descartes viêát rằng: “Tôi thừa nhận nhiều phân tử trong mỗi bộ phận được nhận thức không bởi giác quan nào của chúng ta. Và điều đó có lẽ sẽ không được chấp nhận bởi những ai xem giác quan là phương thế để có thể biết... Ít nhất trong các triết gia, những kẻ cho rằng có thể chia lượng tính tới vô tận, phải thừa nhận rằng trong tính chia ấy, các phần có thể càng lúc càng trở nên rất nhỏ cho tới khi không thể nhận thức một cách toàn bộ”.

Chia được nguyên tử

            Descartes còn nói rằng ông bác bỏ thuyết nguyên tử của Democritus “vì ông ấy giả dụ rằng có những hạt không thể phân chia”.

            Thực tế, tiến bộ của khoa học kỹ thuật nửa sau thế kỷ 20 đã chứng tỏ nguyên tử có thể được phân chia thành những vi phân tử (dưới nguyên tử, sub-atomic particles), và rồi các vi phân tử được chia thành các vi hạt quark, và rồi vẫn chưa biết tính chia ấy sẽ dừng lại hay tới vô tận.

3. David Hume

Kinh nghiệm không chắc chắn

            Xung khắc về căn nguyên của các ý tưởng toán học chuyển thành xung khắc về cơ sở tính chắc chắn của chúng. Hume, triết gia và sử gia Tô Cách Lan, kẻ đi theo truyền thống duy nghiệm của Locke và Berkeley, phân biệt các ý tưởng của lý trí với các ý tưởng của sự kiện thực tế. Cái sau là các ý tưởng về các đối tượng thông thường của kinh nghiệm, nền tảng của khoa học thực nghiệm, và là những yếu tố duy nhất làm gia tăng tri thức của con người.

            Vì các sự kiện thực tế đều có khả năng tiềm ẩn cái trái ngược, thí dụ, không nhất thiết mặt trời phải mọc sáng mai, nên những phát biểu tiên đoán của khoa học thực nghiệm không thể chắc chắn tuyệt đối. Ðiều này tương phản với các kết luận của toán học vốn chắc chắn tuyệt đối. Hume nghĩ rằng sở dĩ có sự chắc chắn ấy là do bởi thực tế rằng toán học hoàn toàn không liên quan tới kinh nghiệm, nó chỉ liên quan tới tương quan giữa các ý tưởng được rút ra từ chính nó.

Toán học, công cụ để khám phá         

            Theo Hume, các kết luận của toán học rất chắc chắn vì chúng chỉ ứng xử với các tương quan ấy và chỉ thế thôi, chúng không quả quyết rằng mình đang thêm cái gì đó vào kho tàng tri thức của con người. Phát biểu “2 cộng 2 thành 4” là một minh họa cho tính chắc chắn của toán học, và không một ai có thể tra vấn tính chính xác của khẳng định ấy. Trái lại, ta dễ dàng giải thích cái chắc chắn của nó vì quả thật chỉ có thể nói giống y như thế trong hai vế của một phương trình (2 + 2 = 4).

            Ta có thể chứng minh khẳng định ấy một cách chi tiết hơn bằng cách triển khai phương trình ấy, vì rõ ràng [1 cộng 1] cộng với [1 cộng 1] thì giống một cách chính xác với [1 cộng 1 cộng 1 cộng 1 cộng 1]. Các phán đoán toán học đều chắc chắn vì chúng có tính phân tích; chúng tái lập sự xác nhận cái được cung cấp sẵn trong chủ đề. Ðiều này nếu quả đúng, nó biến toán học thành một môn học quan trọng không những để làm sáng tỏ các ý tưởng của chúng ta mà còn khiến cho nó được dùng làm một công cụ để khám phá.

Descartes phản bác

            Là người duy lý chủ nghĩa, Descartes bác bỏ quan điểm đó. Ông quả quyết rằng gốc của các nguyên lý toán học như những tiền đề đã ngăn cản những giới hạn của toán học đối với các nguồn của kinh nghiệm và rằng bản tính của lý trí đủ để bảo đảm sự suy diễn toán học từ những tiền đề ấy, thể hiện sự tăng tiến đích thực trong tri thức.

            Bản thân Descartes đã dùng toán học như một công cụ khám phá; toàn bộ triết học của ông thẩm thấu tinh thần và phương pháp của các bộ môn toán học.

4. Các thái độ hiện đại

Vấn đề của toán học

            Do đó, toán học có vấn đề về nguồn gốc ý tưởng của nó và các tiêu chuẩn (criteria) về tính chính xác của nó. Những tiến bộ của khoa học trong thế kỷ 19 và đặc biệt trong thế kỷ 20 dường như khiến cho sự viện dẫn kinh nghiệm cứng nhắc thành bất khả thi, đặc biệt trong khoa học không gian, vũ trụ học và cơ học lượng tử.

            Mặt khác, các triển khai trong hình học bao hàm việc tra vấn cơ sở nguyên tử và thách đố các tiêu chuẩn về sự chắc chắn mà Descartes đã nhấn mạnh.

            Có vẻ hiển nhiên là các đường thẳng song song nếu kéo dài tới vô tận sẽ không bao giờ gặp nhau. Hình học Euclid quả quyết rằng đó là chân lý. Nhà toán học người Ðức *Bernhard G. Riemann (1826-1866) cùng những người khác tra vấn tiền đề ấy. Họ phủ định việc xem một tiền đề là hiển nhiên nếu ta có thể rút tỉa nó từ những tiền đề khác, đồng thời họ có thể chứng minh rằng từ những giả định khác có thể đạt tới một kết luận ngược lại.

            Do đó, toán học buông bỏ ý tưởng có các định lý hiển nhiên; nó tập trung vào việc làm rõ nội hàm của các tập hợp định đề khác nhau theo những qui tắc đã được chấp nhận một cách tổng quát trong lập luận toán học. Từ đó, đối với chúng ta, vấn đề ấy tuy chưa được giải quyết nhưng đã mang một dạng khác và trong dạng này, nó đòi hỏi phải có câu trả lời.

Không cần viện dẫn kinh nghiệm

            Một số nhà tư tưởng thấy không còn cần phải kiểm chứng các kết luận của toán học bằng cách viện dẫn kinh nghiệm vì tính chất nhất quán của hệ thống toán học đủ để bảo đảm sự chính xác của nó. Chừng nào toán học còn có thể cho thấy không có mâu thuẫn hoặc không có các lầm lẫn cá nhân can dự vào những suy diễn từ tập hợp các định đề được cung cấp, chừng đó nó vẫn không cần tới viện dẫn nào khác.

            Như thế, toán học có vẻ là sáng tạo phẩm của chính tâm trí và chỉ là đối tượng của các qui tắc lập luận; nó không tùy thuộc vào thực tế kinh nghiệm để có nguồn gốc hoặc để kiểm tra. Ðiều ấy không có nghĩa toán học biến thành một trò chơi, như đánh cờ tướng, để thưởng ngoạn cái hay ho của nó như nhà toán học Pháp *Henry Poincaré (1854-1912) từng đề nghị, hoặc như một trắc nghiệm trí thông minh. Trái lại, toán học là một yêu cầu của lý trí nhằm thăm dò các ý tưởng hợp lý bằng các phương pháp hợp lý.

            Nhà toán học và triết gia Ðức *Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) quả quyết rằng: “Toán học là sáng tạo phẩm tự do, độc lập với kinh nghiệm; nó phát triển từ trực giác có nguồn gốc đơn thuần suy diễn vốn có thể được gọi là sự bất biến trong biến đổi hoặc sự đồng nhất trong thực tại.” [Trích theo cuốn The Engines of Logic, (Các cỗ máy của luận lý học, 2000) của Martins Davis, Nxb W. W. Norton, London].

5. Chủ nghĩa duy vật và toán học

Nguồn từ hoàn cảnh xã hội và thiên nhiên

            Ngược lại, chủ nghĩa *duy vật biện chứng (dialectical materialism) quả quyết rằng toán học bắt đầu trong hoàn cảnh thực tiễn của xã hội và con người không thể nào thoát ra khỏi hoàn cảnh. Vì ý thức của con người chỉ là phản ánh hoàn cảnh vật chất của nó nên hết thảy các ý tưởng nó sở hữu đều có nguồn gốc vật chất.

            Trong khi đó, quả thật sự trừu tượng hóa có thể đã được làm nên từ một hoàn cảnh đã định và từ sự khái quát của một khái niệm đã được triển khai, khiến cho toán học có vẻ như là một  sáng tạo phẩm của con người, vì thế ta phải bác bỏ bất cứ nỗ lực nào nhằm cách ly hình thức với nội dung. Không cần phải có thêm chứng cớ cho lập trường này vì nó đã được chứng minh bằng những ứng dụng thực tiễn và liên tục của toán học vào các vấn đề của tự nhiên.

            Người duy vật chủ nghĩa nói rằng nếu toán học hoàn toàn có tính hình thức, sự ứng dụng thực tiễn của nó hẳn là một bí nhiệm không cắt nghĩa nổi, vì chúng ta phải chứng minh làm thế nào một sáng tạo phẩm tự do của tâm trí con người đang thao tác theo những định luật của tư duy lại có thể dùng để dự báo động thái (behaviour) của các đối tượng thiên nhiên và bên ngoài con người. Chính vì toán học có cội rễ trong tự nhiên nên mới có thể ứng dụng như thế.

Toán học phải thực dụng

            Người duy vật chủ nghĩa tiếp tục lập luận rằng sự chú ý tới tính chất nhất quán hình thức (formal consistency) không đủ để có thể kiến lập chân lý cho bất cứ phát biểu nào có tính toán học hay ngược lại. Với họ, tiêu chuẩn sau cùng phải là những hệ quả thực dụng hoặc sự kiểm soát có thể được. Bởi thế, chân lý của toán học quả thật được hàm chứa trong khả năng đưa ra những dự báo về thế giới tự nhiên, cái là đối tượng của sự xác minh bằng kinh nghiệm. Lập trường này phát sinh từ học thuyết chủ trương phân biệt giữa tư tưởng với hành động, lý thuyết với thực hành.

            Khi một học thuyết như thế quá được xem trọng, người ta có thể dùng nó để trừ khử một đối tượng bằng việc buông bỏ mọi cuộc thẩm tra có vẻ chẳng mang lại ứng dụng thực tiễn nào – trừ phi người ta có thể chứng minh việc giữ không cho các nhà toán học can dự vào bằng niềm hy vọng rằng những suy tưởng mà lúc này dường như xa rời thực tại, có thể tới một ngày nào đó, sẽ có được sự ứng dụng thực tiễn của chúng. Thí dụ lý thuyết về những tiết diện hình nón phải chờ tới hơn hai ngàn năm mới có được sự ứng dụng thực tiễn của nó trong khoa học của nhà thiên văn học Ðức *Johannes Kepler (1571-1630).

6. Chủ nghĩa hình thức

Toán học là của tâm trí

            Phản bác khái niệm mang tính duy vật chủ nghĩa ấy là một dọc các nhà toán học thuộc trường phái *duy hình thức chủ nghĩa (formalistism) *øduy trực giác chủ nghĩa (intuitionism).

            Theo họ, chắc chắn các ký hiệu toán học có vẻ là những sáng tạo phẩm của tâm trí và các qui luật về suy diễn toán học có vẻ là những điều kiện do tâm trí đặt ra. Tính khả thi của việc đề ra một hệ thống đầy đủ lập luận toán học từ một số định đề mà không chứng minh chân lý của nó, đã đưa tới giả thuyết rằng toàn bộ nội dung toán học có thể được rút gọn thành một ít tiền đề tổng quát.

            Trong cuốn Principles of Mathemathics (Các nguyên lý của toán học, 1903) Whitehead cùng triết gia, nhà toán học và nhà văn Anh Bertrand Russell đã dũng cảm nỗ lực tiến hành thao tác đó nhằm tìm cách chứng minh rằng đã biến mất đường biên giữa toán học và luận lý học (logic), và rằng có thể xem xét toàn bộ cấu trúc của toán học từ những nguyên tắc ít mang tính luận lý.

            Ðiều này nếu lập thành, sẽ chứng minh rằng toán học quả thật là một sáng tạo phẩm của tâm trí và rằng toán học không đòi hỏi các tiêu chuẩn khác của chân lý ngoài tính nhất quán của chính nó và sự tuân giữ nghiêm ngặt các định luật tổng quát của tư duy. Tuy thế, cần phải nói rõ rằng Russell xem thế giới kinh nghiệm là nguồn của các dữ liệu có tính luận lý (logical data).

Môn học lý tính và tự tính

            Không thật sự thành vấn đề việc toán học có bắt đầu trong những lợi ích xã hội hay không, vì ta không thể nào lần theo dấu vết của sự khái quát được thành tựu ngày nay để truy ngược trở lại tới bất cứ dữ liệu kinh nghiệm đơn giản nào. Cho dẫu có thể làm được như thế đi nữa cũng chẳng tác động gì lên bản tính hoặc chức năng của toán học như một môn học lý tính tự nó chứa đựng nó.

            Trong cuốn Philosophical Physics  (Vật lý học triết lý,1950), trang 303, Nxb Harper & Bros, giáo sư Vincent Edward Smith viết rằng: “Mục đích chính của thuyết duy hình thức là tìm cho ra một hệ thống toán học nhất quán và đầy đủ từ những tiền giả định (presuppositions) ít khả thi nhất”.

7. Các hàm ý

Nghiên cứu bản tính vũ trụ

            Ngày nay, việc nghiên cứu bản tính của vũ trụ là một chủ đề sống động được quyết định bởi bản tính hiện thời của tra vấn toán học, điển hình qua các công trình vũ trụ học của ông hoàng vật lý lý thuyết Stephen Hawking.  Tuy thế, không có khả năng có thể tìm thấy giải pháp cho vấn đề ấy trong tự thân toán học vì các vấn đề liên quan tới nó có vẻ như dàn trải tới quá bên kia đường biên của nó. Giải pháp ấy đòi hỏi một khái niệm tổng quát về bản tính của vũ trụ, và các thái độ khác nhau về vấn đề ấy sẽ phản ánh sự bất đồng vẫn còn tiếp diễn trong phạm vi siêu hình học.

            Sự quan tâm tới chủ đề ấy cũng có tính triết học một cách sâu xa vì nó thừa nhận rằng cho dẫu toán hoặc mang tính *hình thức chủ nghĩa hoặc mang tính *tự nhiên chủ nghĩa, ít nhất cũng có thể dùng một số kết luận của nó và các kỹ thuật của nó để nghiên cứu sâu hơn vào bản tính của vũ trụ vật lý. Bản tính thì dễ bị ảnh hưởng bởi cách xử lý mang tính toán học và như thế, phải có mối tương quan nào đó giữa toán học và bản tính của vũ trụ.

Dự đoán thiên nhiên   

            Chúng ta có thể tự hỏi làm thế nào các nhà khoa học chỉ thao tác với các ký hiệu toán học lại có thể đưa ra những dự đoán về thiên nhiên – thí dụ lời tiên đoán của Einstein về sự lượn cong của ánh sáng trong vùng lân cận mặt trời; Hawking chứng minh sự hữu hạn của vũ trụ, đặc tính của hố đen, v.v. – hoặc cung cấp các lời giải thích khái quát về các hiện tượng thiên nhiên theo những nguyên tắc của thuyết tương đối.

            Những tiếp cận mang tính duy nghiệm chủ nghĩa hoặc duy vật chủ nghĩa vào bản tính của toán học dường như cho thấy không khó giải thích sự ứng dụng của toán học vào các hiện tượng tự nhiên, vì toán học, ngay trong quan điểm của nó, chỉ quan tâm tới những tương quan được rút tĩa từ kinh nghiệm.

            Tuy thế, tính khả thi của điều đó, đặc biệt khi triển khai sự khái quát hóa theo những định luật của tư duy, hàm ý một trật tự tổng quát trong tự nhiên, cái không thể giải thích dựa trên sự khẳng định đơn giản về các tương quan vật chất.

Vấn đề của người duy vật

            Nếu vũ trụ là một hệ thống có tính biện chứng một cách đích thực như người theo chủ nghĩa Marx tuyên bố, ta có thể tự hỏi làm thế nào các nguyên lý về trật tự được triển khai bằng sự trừu tượng hóa vốn xuất phát từø kinh nghiệm, lại có thể tái áp dụng thêm nữa mà không có sửa đổi nào.

            Người duy vật chủ nghĩa có thể trả lời rằng không thể có vấn đề sửa đổi vì chân lý toán học không chỉ được kiến lập bởi một mình các định luật của lý trí mà còn phải kiểm tra dựa trên cơ sở thực nghiệm. Kết luận toán học chỉ được xác minh khi nó hữu hiệu, nếu nó không có khả năng ứng dụng thì cũng không phát sinh vấn đề chân lý của nó.

Vấn đề của người duy tâm

            Trong các tác phẩm văn học mang tính duy vật chủ nghĩa, người ta có thói quen trình bày lập trường mang tính duy tâm chủ nghĩa như thể nó duy trì sự phân biệt giữa vật chất với tinh thần và nó bị buộc phải đối mặt với vấn đề chứng minh làm thế nào những cơ sở kiến trúc tinh thần có thể ứng dụng vào vật chất như một trật tự khác của Ðấng Hữu thể.

            Có thể có một số người duy tâm chủ nghĩa duy trì một lập trường như thế nhưng nó không là đặc điểm của triết học mang tính duy tâm chủ nghĩa, nó cũng không được đại diện bởi người duy tâm khách quan chủ nghĩa (objective idealist) nổi tiếng nào.

            Triết gia Anh Bernard Bosanquet khẳng định không có sự phân biệt tối hậu giữa tinh thần với vật chất, và thực tế, ông quả quyết rằng các hiện tượng tinh thần đều dựa trên các điều kiện vật chất, thí dụ thế giới vật lý và thể xác của con người. Ông nói tới tâm trí (mind) như một tính chất ngoại tại (externality) trở thành một tính chất nội tại (internality), như thế giới vật chất trở thành có ý nghĩa.

            Theo Bosanquet, sự khái quát không ở trong bản tính tổng quát của kinh nghiệm nhưng ở trong thông giải nó. Người duy tâm chủ nghĩa quả quyết rằng thựïc tại nền tảng của Tâm trí Tuyệt đối (Absolute Mind) biểu thị trong vật chất và rằng kinh nghiệm chỉ là sự trở về trạng thái tinh thần của cái thật sự là tinh thần.

8. Chủ nghĩa duy tâm và toán học

Hiểu sai lạc toán học

            Ðối với người duy tâm chủ nghĩa, vấn đề toán học thuộc về một trật tự khác, chủ yếu phát sinh từ sự hiểu sai lạc của họ về bản tính của toán học. Whitehead thông báo với chúng ta rằng ông từng có lần khởi sự đọc tác phẩm của triết gia Ðức *Friedrich Hegel (1770-1831) nhưng chẳng may ông mở cuốn sách nhằm ngay phần ứng xử với toán học, và ông rất cực lòng về những gì mình đọc thấy ở đó, tới độ không nghĩ tới chuyện sẽ đọc thêm nữa.

            Tôi tin rằng trong cuốn Reason and Nature (Lý trí và thiên nhiên, 1931), triết gia Do Thái *Morris Raphael Cohen (1880-1947) đã nói đúng khi ông cho rằng chính việc chủ nghĩa duy tâm hiểu sai lạc bản tính và chức năng của toán học đã khiến cho người ta không quan tâm tới chủ nghĩa ấy. Có thể thấy cơ sở của sự hiểu sai lạc này trong cách người duy tâm chủ nghĩa nhìn bản tính của sự tra vấn thích đáng. Và điều ấy lộ ra rõ nét nhất trong sự phân biệt cái phổ quát trừu tượng (the abstract universal) và cái phổ quát cụ thể (the concrete universal).

Ðồng nhất và dị biệt

            Trong khi hình thành một khái niệm, có vẻ như chúng ta rút tỉa từ những đối tượng khác nhau ra các điểm tương đồng và cùng lúc ấy, chúng ta không quan tâm tới các điểm dị biệt của chúng. Chúng ta đạt tới ý tưởng tổng quát về “đỏ” bằng việc rút tỉa màu sắc chung từ hoa dâm bụt màu đỏ, mặt trời lặn màu đỏ, lá cờ đỏ, trái lựu đỏ, máu đỏ, v.v. Dường như đối với chúng ta, điều quan trọng là công nhận cái đồng nhất và từ khước những cái dị biệt.

            Rủi thay, khi khảo sát phương pháp này trong một số cái phổ quát, chúng ta thấy ra rằng nếu phương pháp ấy đúng, chúng ta chỉ còn lại cái phổ quát với nội dung rỗng tuếch khiến cho nó vô nghĩa. Trên cơ sở đó, ý tưởng “tam giác” của tôi không thể có bất cứ hình dạng nào vì nó mang cái chung chung, phát sinh từ hình có hai cạnh dài bằng nhau (tam giác cân), hình không có hai cạnh nào dài bằng nhau (tam giác lệch), hình có cả ba cạnh bằng nhau (tam giác đều), như thế gạt sang một bên những dị biệt của chúng, và những dị biệt ấy nằm trong hình dạng.

Bảo thủ cái phổ quát cụ thể

            Vì tôi không thể thể hiện một tam giác mà không có một hình dạng nào đó nên có nghĩa rằng tính phổ quát không bao giờ được biểu hiện cũng như được tưởng tượng. Khi áp dụng phương pháp đó cho con người, chúng ta thấy rằng con người phổ quát không thể vừa cao lại vừa thấp, vừa vàng lại vừa đen, vừa béo lại vừa gầy, do bởi chúng ta phải chiết ra từ những cái dịi biệt.

            Người duy tâm chủ nghĩa gọi các khái niệm như thế là những cái phổ quát trừu tượng (the abstract universals) và vạch rõ tính chất bất thỏa đáng của chúng. Họ thích dùng những cái phổ quát cụ thể (the concrete universals), qua đó họ có ý nói rằng những cái phổ quát điều chỉnh mọi dị biệt bên trong chúng. Nếu chúng ta bắt đầu cuộc sống trí thức của mình trong xã hội, nơi mọi người đều có nước da vàng và tầm thước, ý tưởng của chúng ta sẽ bao gồm cái vàng và cái không cao.

            Nếu sau đó chúng ta gặp một số du khách, tây ba-lô chẳng hạn, cao và trắng hoặc đen, và một số vật khác, chúng ta phải điền chỉnh định nghĩa của mình để bao gồm những cái dị biệt. Phải gom vào trong khái niệm ấy những sự kiện mới, và như thế, ý nghĩa của từ ngữ “con người” được triển khai để tính luôn cả những dị biệt đó.

Ðồng nhất trong dị biệt

            Khái niệm đầy đủ về con người không là một khái quát trống rỗng hoặc đồng nhất đơn thuần nhưng đúng ra là một quan sát tổng hợp tất cả những dị biệt hiệp nhất với nhau vì nguyên lý về đồng nhất. Do đó, cái phổ quát cụ thể là cái đồng-nhất-trong-dị-biệt (a identity-in-difference) chứ không chỉ lấy những gì hoàn toàn đồng nhất hoặc chỉ lấy những gì hoàn toàn dị biệt.

            Công tác của triết học, theo các nhà duy tâm chủ nghĩa, là hình thành một lý thuyết nhất quán và toàn diện về vũ trụ trong đó toàn thể vạn vật được phô bày trong cùng một lúc những cái dị biệt, được buộc vào nhau bằng cái đồng nhất tối hậu. Hệ thống đầy đủ này hoặc cái phổ quát cụ thể là cái được người duy tâm chủ nghĩa gọi là cái tuyệt đối.

Khuyết điểm của toán học

            Theo hệ thống duy tâm ấy, tư tưởng chỉ tăng tiến một cách thích đáng khi nó liên quan tới những cái phổ quát cụ thể. Do đó, toán học không là công cụ của tri thức thật sự; vì mang tính trừu tượng cao độ, toán học chỉ tập trung vào các tương quan và vào các thành tố của sự đồng nhất được chiết ra từ những cái dị biệt.

            Cũng theo người duy tâm, trong khi toán học tất yếu phải ứng xử với tương quan được thật sự rút tỉa từ kinh nghiệm, nó không thể nào cung cấp thông tin hoàn toàn thích đáng về tự nhiên, vì đó là cái nhà toán học không thèm đếm xỉa, và đó cũng là cái quan trọng nhất để có được tri thức đầy đủ.

Nan giải của người duy tâm

            Hầu như không cần phải vạch rõ rằng người duy tâm chủ nghĩa sẽ gặp phải nan giải khi biện minh cho cuộc mạo hiểm có tính suy tưởng của các nhà toán học, cách riêng khuynh hướng của những người như Bertrand Russell, kẻ muốn giảm thiểu toán học thành môn học hoàn toàn hình thức. Sở dĩ như thế vì người luận lý duy tâm chủ nghĩa (idealistic logic) cứ nhất định quả quyết rằng không thể nào rút tỉa hình thức từ nội dung và xử lý nó như có ý nghĩa trong chính nó.

9. Chủ nghĩa duy nghiệm và Kant

Nan giải vì duy nghiệm

            Có lẽ trong đầu của người duy vật chủ nghĩa đã thật sự có hình bóng của những kẻ như Berkeley và Kant khi họ phản đối triệt để chủ nghĩa duy tâm; tuy thế, những nan giải của hai triết gia ấy không phát sinh từ chủ nghĩa duy tâm của mình mà từ chủ nghĩa duy nghiệm của mình.

            Berkeley đồng ý với Locke rằng:

            1.  Không thể xem là có giá trị những ý tưởng không bắt nguồn từ kinh nghiệm giác quan;

            2. Vì không thể nào có việc ý tưởng trừu tượng đến từ kinh nghiệm giác quan nên nếu toán học cho rằng nó đang ứng xử với các ý tưởng trừu tượng, thì dứt khoát ý kiến ấy phải sai lầm;

            3. Chắc chắn các ý tưởng ấy, nếu thật sự khả thi, không thể được dùng để khẳng định bản tính của thế giới vật lý.

            Ðể chứng minh cho các luận cứ ấy, chúng ta đã đưa ra một thí dụ trong thái độ của Berkeley đối với lý thuyết về tính chia vô tận.

            Về phần Kant, ông đồng ý tri thức bắt đầu với kinh nghiệm. Thế nhưng ông cho rằng nó không bị giới hạn trong kinh nghiệm vì ông nhấn mạnh hoạt động của tâm trí trong trạng thái bình thường. Theo Kant, trật tự của thiên nhiên không được cung cấp bởi bất cứ giác quan nào nhưng nó do tri thức đặt ra, như một điều kiện thiết yếu của kinh nghiệm.

Những điều kiện tiên nghiệm

            Newton giả định rằng không gian và thời gian là hai vật có thật trong thế giới ngoại tại. Kant cho rằng nếu chúng quả thật như thế, chúng ta không bao giờ có thể nhận biết chúng vì các giác quan, tuy có khả năng báo cho chúng ta biết màu sắc và hương thơm của hoa hồng, nhưng không thể báo cho chúng ta biết chút nào về không gian và thời gian.

            Vì không thể lĩnh hội bằng cách tri giác (nhận thức, perceive) không gian và thời gian nên, theo lý thuyết Kant (Kantism), chúng ta phải bác bỏ ý tưởng về tính ngoại tại của chúng và chúng ta nên thấy chúng như là các điều kiện chủ quan được đặt ra bởi bản tính của cảm quan (sensibility) của chúng ta; chúng là những điều kiện tiên nghệm (a priori conditions) mà nếu không có chúng, chúng ta không thể nào có kinh nghiệm.

Không gian thời gian là chủ quan

            Nếu quan điểm ấy đúng, có thể khẳng định rằng bất cứ cái gì có thể phô diễn một cách chính xác về không gian và thời gian nhất thiết phải ứng dụng vào thế giới của kinh nghiệm mà chúng qui định.

            Do đó, bằng việc biến không gian và thời gian thành chủ quan, Kant tìm cách giải quyết vấn đề áp dụng bản tính của toán học, vốn được một số người xem là một môn học hoàn toàn lý tính.

III. Tóm lược

Toán học, công cụ khám phá

            Các lý thuyết khác nhau ấy về nguồn gốc, tiêu chuẩn và ứng dụng của toán học tiêu biểu cho các lối tiếp cận khác nhau vào vấn đề làm thế nào toán học – một môn học có vẻ như giả tạo, do con người sáng chế, chỉ liên quan tới các ký hiệu và chỉ là đối tượng của các định luật về tư duy – lại có thể được dùng làm công cụ khám phá.

Quan điểm của nhà triết học

            Người duy vật chủ nghĩa lập luận rằng điều đó khả thi vì tư tưởng không là gì cả mà chỉ là chỉ là phản ánh thế giới vật chất, và người duy tâm chủ nghĩa cũng đồng ý với lập trường đó. Sự khác biệt giữa hai hệ lý thuyết ấy tùy thuộc vào những lượng giá khác nhau của chúng về trạng thái và bản tính của thế giới vật chất cùng ý nghĩa của tâm trí.

            Ðối lập với hai lập trường ấy là những người quả quyết rằng toán học thật ra không được rút tỉa chút nào từ thế giới này; nó hoàn toàn hoạt động một cách độc lập. Có thể đặt cơ sở cho phát biểu ấy trên giả định rằng tâm trí thì tách biệt với thế giới vật chất, cái tự nó có bản tính cùng các luật lệ của chính nó. Bởi thế, như chúng ta đã thấy, Kant phải giải quyết vấn đề ứng dụng thực tiễn của toán học bằng cách làm cho thế giới này thành một thế giới được trải nghiệm và có trật tự nhờ các nguyên lý độc lập của không gian và thời gian.

Quan điểm của nhà toán học

            Trong khi bác bỏ nguồn gốc chủ quan của các nguyên lý thiết lập trật tự, nhiều người vẫn sẵn sàng xem toán học có tính hoàn toàn hình thức và trừu tượng cũng như không được rút tỉa từ kinh nghiệm. Lúc đó, vấn đề là thiết lập một hệ thống các tiền đề mà không cần phải viện dẫn chân lý hoặc nguồn gốc kinh nghiệm để chứng minh chúng, và khám phá nội hàm của chúng. Các nhà toán học có quan điểm này tự thấy không cần phải quan tâm tới các kết quả của họ có mang tính ứng dụng thực nghiệm hay không.

            Có thể xảy ra việc một nhà vật lý, vốn quen thuộc với toán học, khám phá ra các mối quan hệ trong thiên nhiên tương ứng với một suy tưởng nào đó về những kiểu mẫu trật tự nhất định được thảo luận trong toán học. Lúc đó, nhà vật lý ấy có thể hướng tới các nhà toán học để quyết định xem nội hàm nào liên quan tới khám phá của mình.

            Những suy diễn toán học không bảo đảm cho chân lý của các kết quả ấy nhưng chúng cung cấp sự hướng dẫn để nhà vật lý nghiên cứu sâu xa thêm vì chúng gợi ra những cái cần tìm kiếm. Nói cách khác, không kết luận toán học nào có thể tự tuyên bố nó là một thí dụ minh họa có tính thực nghiệm; điều chủ yếu vẫn là quan sát thật sự trên cơ sở thực nghiệm.

Quan điểm của thuyết tiến trình          

            Các nhà tư tưởng khác khẳng định rằng triết học tiến trình (the process philosophy), bằng việc bảo lưu ý kiến cho rằng cá nhân là một tổng hợp môi trường của nó, đã cho thấy thế giới này không là cái gì đó ở bên ngoài chúng ta và ngẫu nhiên được làm cho thích hợp với tâm trí của chúng ta, nhưng cá nhân, bằng cách thức nào đó, biểu lộ trong bản thân nó bản tính của thế giới.

            Do đó, chừng nào cá nhân còn triển khai những nguyên tắc về trật tự trong kinh nghiệm của chính nó, chừng đó nó còn thẩm tra bản tính của trật tự trong tự thân vũ trụ.

Triển khai nguyên lý trật tự

            Vì có sự hợp tác của tha nhân (other persons), những kẻ cùng chia sẻ kinh nghiệm, nên có khả năng triển khai thành hệ thống toán học những nguyên lý trừu tượng về trật tự trong một chuỗi rộng lớn những cái khái quát bị chi phối bởi các định luật tổng quát về tư duy.

            Nhờ hoàn cảnh may mắn ấy mà có được tính khả thi cho khoa học, cái quan tâm tới những tương quan của các biến cố, hoặc cái được chúng ta gọi là những nguyên lý trật tự, để tăng tiến thành những cái nhìn thấu suốt mới mẻ và thăm dò sâu xa hơn vào bí mật của thiên nhiên.

IV. Kết luận

Khoa học nhờ toán học           

            Triết gia người Anh Francis Bacon, kẻ được một số người đánh giá là thân phụ của thời hiện đại chúng ta, đã mù mờ về toán học. Ông bác bỏ toán học như một công cụ duy nhất sắp xếp những tri thức nhận được từ các nguồn khác và ông cho rằng nó không có giá trị trong việc khám phá khoa học. Lịch sử của khoa học, cách riêng trong hai thế kỷ 19 và 20 vừa qua, là một luận cứ không thể bác bỏ, chống lại việc Bacon đánh giá thấp môn học ấy.

            Toán học đã và đang là một công cụ khám phá. Vì từ lâu, khoa học đã vượt quá những giới hạn của sự quan sát trực tiếp của con người, cách riêng trong phạm vi nghiên cứu hạt nhân, khoa học không gian, vũ trụ học, cơ học lượng tử, và công nghệ cao cấp, v.v. Nếu không có toán học thì không thể nào đạt được những tiến bộ ấy.

Vẫn còn phải thẩm tra

            Chương này cố gắng trình bày một số nan giải hàm chứa trong chính sự thành công của toán học, cách riêng trong nguồn gốc, bản tính và ứng dụng của thuyết tượng trưng toán học (mathemathical symbolism). Nếu ta có thể đạt được câu trả lời cho vấn nạn này, nó chắc chắn sẽ rọi nhiều ánh sáng lên bản tính tổng quát của thực tại, đặc biệt trong vấn đề nan giải về tính chủ quan hoặc tính khách quan của thực tính (the real).

            Dù cuộc thẩm tra ấy đưa tới kết quả nào đi nữa, ít nhất cũng đã kiến lập được một điều.  Rằng thiên nhiên là một hệ thống có trật tự, bằng không toán học không thể thao tác như một công cụ khám phá. Ðó là một kết luận quan trọng.

            Không có thực thể tự túc (có tự tính) và độc lập; mọi vật đều tương liên nối kết và tương tác, nghĩa là cùng quan hệ tới các vật khác. Toán học làm cho nhà khoa học có khả năng khám phá rất nhiều tương quan có tính thiết yếu đối với tri thức của chúng ta về vạn vật, vượt quá bên kia tầm hiểu biết bằng quan sát.

Thiên nhiên có trật tự

            Kết quả này của toán học bảo đảm rằng thiên nhiên là một hệ thống, một hệ thống có trật tự, và rằng phát xuất từ thực tế đó, vạn vật (things) hoặc vạn sự (events) đều có ý nghĩa.

            Với sự bảo đảm rằng thiên nhiên là một hệ thống có trật tự, giờ đây chúng ta có thể hướng tới cuộc khảo sát chi tiết hơn một số nguyên lý về trật tự, được giả định là hiện hữu và thao tác trong tự nhiên.n